题目：
已知椭圆C中心为坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2
（1）求椭圆C的方程； （2）直线l：y=kx+m与椭圆C交于不同两点P，Q，且OP⊥OQ，求点O到直线l的距离． |
答案：
（1）设椭圆C的方程为
+x2 a2
=1(a＞b＞0)．y2 b2
由题意可得
，解得e=
=c a 1 2 2b=2 21 a2=b2+c2
，b= 21 c= 7 a2=28
∴椭圆C的方程为
+x2 28
=1．y2 21
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立
，消去y得到（3+4k2）x2+8kmx+4m2-84=0．y=kx+m
+x2 28
=1y2 21
∵△＞0，∴64k2m2-16（3+4k2）（m2-21）=0，化为m2=21+28k2．（*）
∴x1+x2=
，x1x2=-8km 3+4k2
．（**）4m2-84 3+4k2
∵OP⊥OQ，∴
•OP
=0．OQ
∴x1x2+y1y2=0．
又y1y2=（kx1+m）（kx2+m），
∴(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0．
把（**）代入可得
+(1+k2)(4m2-84) 3+4k2
+m2=0．-8k2m2 3+4k2
化为m2=12+12k2=12（1+k2），∴
=2|m| 1+k2
．3
∴点O到直线l的距离d=
=2|m| 1+k2
．3
