试题与答案

设椭圆中心为O，一个焦点F（0，1），长轴和短轴长度之比为t．（1）求椭圆方程；

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题型：解答题

题目：

设椭圆中心为O，一个焦点F（0，1），长轴和短轴长度之比为t．
（1）求椭圆方程；
（2）设过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分交点为Q，点P在该直线上，且
|OP|
|OQ|
=t
t2-1
，当t变化时，求点P轨迹．

答案：

（1）依题意知，c=1，a：b=t，即a=bt

∵a2-b2=1

∴b2=

1
t2-1
，a2=
t
t2-1

故椭圆方程为

y2
t2
t2-1
+
x2
1
t2-1
=1

（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q（x1，y1），P（x，y），

则

y=tx
y2
t2
t2-1
+
x2
1
t2-1
=1
，解得
x1=
1
2(t2-1)
y1=
t
2(t2-1)

∵OP||OQ|=|x||x1|=tt2-1

∴

x=
t
2
y=
t2
2
或
x=-
t
2
y=-
t2
2

而t＞1，于是点P的轨迹方程为：

x2=

2
2
y(x＞
2
2
)，x2=-
2
2
y(x＜-
2
2
)，

点P的轨迹为抛物线x2=

2
2
y在直线x=
2
2
右侧的部分和抛物线x2=-
2
2
y在直线x=-
2
2
左侧的部分．

考点：动点的轨迹方程椭圆的标准方程及图象圆锥曲线综合
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