题目：
已知函数f（x）=x2t-2t（x2+x）+x2+2t2+1，g（x）=
（I）证明：当t＜2
（Ⅱ）对于给定的闭区间[a，b]，试说明存在实数k，当t＞k时，g（x）在闭区间[a，b]上是减函数； （Ⅲ）证明：f（x）≥
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答案：
（I）证明：由题设易得g（x）=e2x-t（ex-1）+x，g'（x）=2e2x-tex+1．又2ex+e-x≥2
，且t＜22 2
得t＜2ex+e-x，
tex＜2e2x+1，即g'（x）=2e2x-tex+1＞0．由此可知，g（x）在R上是增函数．
（II）因为g'（x）＜0是g（x）为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t＞k时g'（x）=2e2x-tex+1＜0，即t＞2ex+e-x在闭区间[a，b]上成立即可．因为y=2ex+e-x在闭区间[a，b]上连续，故在闭区间[a，b]上有最大值，设其为k，于是在t＞k时，g'（x）＜0在闭区间[a，b]上恒成立，即g（x）在闭区间[a，b]上为减函数．
（III）设F（t）=2t2-2（ex+x）t+e2x+x2+1，即F(t)=2(t-
)2+ex+x 2
(ex-x)2+11 2
易F(t)≥
(ex-x)2+1，令H（x）=ex-x，则H'（x）=ex-1，易知H'（0）=0．当x＞0时，H'（0）＞0；当x＜0时，H'（0）＜0．故当x=0时，H（x）取最小值，H（0）=1．所以1 2
(ex-x)2+1≥1 2 3 2
于是对任意的x，t，都有F(t)≥
，即f(x)≥3 2 3 2
