题目：
在平面直角坐标系xOy中，点_P到定点F（-1，0）的距离的两倍和它到定直线x=-4的距离相等．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程，并说明轨迹C是什么图形；
（Ⅱ）已知点Q（l，1），直线l：y=x+m（m∈R）和轨迹C相交于A、B两点，是否存在实数m，使△ABQ的面积S最大？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
答案：
（Ⅰ）设P（x，y），根据题意，2|PF|=d．
即：2
=|4+x|，(x+1)2+y2
平方化简得3x2+4y2=12，即
+x2 4
=1．y2 3
点P的轨迹是长轴、短轴长分别为4、2
，焦点在x轴上的椭圆．3
（Ⅱ）设直线L与轨迹C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）两点．
联立方程得：
⇒7x2+8mx+4m2-12=0，y=x+m
+x2 4
=1y2 3
x1+x2=-
，x1x2=8m 7
，4m2-12 7
△=64m2-4×7×4（m2-3）=48（7-m2）＞0
|AB|=
=2[(x1+x2)2-4x1x2]
×4 6 7
．7-m2
点Q（1，1）到L：y=x+m的距离为
．|m| 2
∴S△=
×1 2
×4 6 7
×7-m2
=|m| 2
×2 3 7
≤(7-m2)m2
×2 3 7
=7-m2+m2 2
．3
当且仅当7-m2=m2，即m=±
时，满足△=48（7-m2）＞0，14 2
∴存在实数m=±
，使△ABQ的面积S最大，最大值为14 2
．3
