题目：
设椭圆
（1）求椭圆的方程； （2）求动点C的轨迹E的方程； （3）设直线AC（C点不同于A，B）与直线x=2交于点R，D为线段RB的中点，试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论． |
答案：
（1）由题意，可得a=2，e=
=c a
，可得c=3 2
，-----------------（2分）3
∴b2=a2-c2=1，
因此，椭圆的方程为
+y2=1．-----------------（4分）x2 4
（2）设C（x，y），P（x0，y0），由题意得
，即x=x0 y=2y0
，-----------------（6分）x0=x y0=
y1 2
又
+y02=1，代入得x02 4
+(x2 4
y)2=1，即x2+y2=4．1 2
即动点C的轨迹E的方程为x2+y2=4．-----------------（8分）
（3）设C（m，n），点R的坐标为（2，t），
∵A、C、R三点共线，∴
∥AC
，AR
而
=（m+2，n），AC
=（4，t），则4n=t（m+2），AR
∴t=
，可得点R的坐标为（2，4n m+2
），点D的坐标为（2，4n m+2
），-----------------（10分）2n m+2
∴直线CD的斜率为k=
=n- 2n m+2 m-2
，mn m2-4
而m2+n2=4，∴-n2=m2-4，代入上式可得k=
=-mn -n2
，-----------------（12分）m n
∴直线CD的方程为y-n=-
（x-m），化简得mx+ny-4=0，m n
∴圆心O到直线CD的距离d=
=4 m2+n2
=2=r，4 4
因此，直线CD与圆O相切，即CD与曲线E相切．-----------------（14分）
