解答题：已知数列{an}满足a1＝a(a＞0，a∈N*)，a1＋a2＋…＋an

已知数列{a_n}满足a₁＝a(a＞0，a∈N^*)，a₁＋a₂＋…＋a_n－pa_n_＋1＝0(p≠0，p≠－1，n∈N^*)．

(1)求数列{a_n}的通项公式a_n；

(2)若对每一个正整数k，若将a_k_＋1，a_k_＋2，a_k_＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d_k.①求p的值及对应的数列{d_k}．

②记S_k为数列{d_k}的前k项和，问是否存在a，使得S_k＜30对任意正整数k恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由．

（1）a_n＝（2）①p＝－，d_k＝9a·2^k^－1或p＝－，d_k＝^k^－1②a＝13.

(1)因为a₁＋a₂＋…＋a_n－pa_n_＋1＝0，所以n≥2时，a₁＋a₂＋…＋a_n_－1－pa_n＝0，两式相减，得 (n≥2)，故数列{a_n}从第二项起是公比为的等比数列，又当n＝1时，a₁－pa₂＝0，解得a₂＝，

从而a_n＝

(2)①由(1)得a_k_＋1＝^k^－1，a_k_＋2＝^k，a_k_＋3＝^k^＋1，

若a_k_＋1为等差中项，则2a_k_＋1＝a_k_＋2＋a_k_＋3，

即＝1或＝－2，解得p＝－；

此时a_k_＋1＝－3a(－2)^k^－1，a_k_＋2＝－3a(－2)^k，

所以d_k＝|a_k_＋1－a_k_＋2|＝9a·2^k^－1，

若a_k_＋2为等差中项，则2a_k_＋2＝a_k_＋1＋a_k_＋3，即＝1，此时无解；

若a_k_＋3为等差中项，则2a_k_＋3＝a_k_＋1＋a_k_＋2，即＝1或＝－，

解得p＝－，

此时a_k_＋1＝－^k^－1，a_k_＋3＝－^k^＋1，所以d_k＝|a_k_＋1－a_k_＋3|＝^k^－1，

综上所述，p＝－，d_k＝9a·2^k^－1或p＝－，d_k＝^k^－1.

②当p＝－时，S_k＝9a(2^k－1)．

则由S_k＜30，得a＜，

当k≥3时，＜1，所以必定有a＜1，

所以不存在这样的最大正整数．

当p＝－时，S_k＝，

则由S_k＜30，得a＜，因为＞，所以a＝13满足S_k＜30恒成立；但当a＝14时，存在k＝5，使得a＞即S_k＜30，

所以此时满足题意的最大正整数a＝13