题目：
设0＜a＜1，f(logax)=
（Ⅰ）求f（x）的表达式，并指出其奇偶性、单调性（不必写出证明过程）； （Ⅱ）解关于x的不等式：f（ax）+f（-2）＞f（2）+f（-ax） （Ⅲ）（理）当n∈N时，比较f（n）与n的大小． （文）若f（x）-4的值仅在x＜2时取负数，求a的取值范围． |
答案：
（Ⅰ）令t=logax，则x=at，∴f(t)=
，∴f（x）=a(a2t-1) (a2-1)at
(ax-a-x），x∈R．（2分） a a2-1
∵f（-x）=f（x），∴奇函数．∵0＜a＜1，∴函数为增函数（2分）
（Ⅱ）∵f（ax）-f（2）＞f（2）-f（ax）
∴f（ax）＞f（2），ax＞2，
∵0＜a＜1，∴x＜loga2（4分）
（Ⅲ）（理料）f（1）=1，（1分）
当n≥2时，f（n）=
•1 an
=a[1-(a2)n] 1-a2
(a+a3+a5+…a2n-1，）1 an
=
[(a+a2n-1)+(a3+a2n-3)+…+（a2n-1+a）]＞1 2an
•n•2an=n(∵0＜a＜1)（5分）1 2an
或用数学归纳法证明：f（k+1）=af（k）+a-k＞ak+ak-k∵0＜a＜1，
∴可令
=1+α，α＞0，∴ka+a-k＞ka+(1+α)n≥ka+1+kα=k(a+1 a
-1)+1＞k+11 a
（文科）∵f(x)＜4⇔x＜2⇔f(x)＜f(2)∴f(2)=4，a=2-
（6分）3
