题目：
已知α，β是方程4x2-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，函数f(x)=
（Ⅰ）判断函数f（x）在定义域内的单调性，并证明． （Ⅱ）记：g（k）=maxf（x）-minf（x），若对任意k∈R，恒有g(k)≤a•
求实数a 的取值范围． |
答案：
（Ⅰ）证一：设α≤x1＜x2≤β，则4x12-4tx1-1≤0，4x22-4tx2-1≤0，
∴4(
+x 21
)-4t(x1+x2)-2≤0， ∴2x1x2-t(x1+x2)-x 22
＜01 2
则f(x2)-f(x1)=
-2x2-t
+1x 22
=2x1-t
+1x 21 (x2-x1)[t(x1+x2)-2x1x2+2] (
+1)(x 22
+1)x 21
又t(x1+x2)-2x1x2+2＞t(x1+x2)-2x1x2+
＞0 ∴f(x2)-f(x1)＞01 2
故f（x）在区间[α，β]上是增函数． …．…．（6分）
证二：f′(x)=
，x∈[-2x2+2kx+2 (x2+1)2
，k- k2+1 2
]k+ k2+1 2
易知：当x∈[α，β]时，4x2-4kx-1≤0，∴-2x2+2kx+2≥
∴f′(x)≥03 2
故f（x）在区间[α，β]上是增函数．
（Ⅱ）g(k)=f(β)-f(α)=
≤a•
(16k2+40)k2+1 16k2+25
恒成立．a≥1+k2
=1+16k2+40 16k2+25
，考虑15 16k2+25
的最大值为15 16k2+25
，∴a≥3 5
…（13分）8 5
