设f(x)=alog22x+blog4x2+1，（a，b为常数）．当x＞0时，F

答案：

（1）f（x）=alog₂²x+blog₂x+1

由f(

1

2

)=0得a-b+1=0，

∴f（x）=alog₂²x+（a+1）log₂x+1

若a=0则f（x）=log₂x+1无最小值．

∴a≠0．

欲使f（x）取最小值为0，只能使

a＞0 4a-(a+1)2 4a =0

，知a=1，b=2．

∴f（x）=log₂²x+2log₂x+

设x＜0则-x＞0，

∴F（x）=f（-x）=log₂²（-x）+2log₂（-x）+1

又F（-x）=-F（x），

∴F（x）=-log₂²（-x）-2log₂（-x）-1

又F（0）=0∴F(-x)=

log22x+2log2x+1  (x＞0) 0(x=0) -log22(-x)-2log2(-x)-1  (x＜0)

（2）g(x)=

log22x+2log2x+1+k-1

log2x

=log2x+

k

log2x

+2．x∈[2，4]．

得log₂x=t．则y=t+

k

t

+2，t∈[1，2]．

∴当k≤0，或

k

≤1或

k

≥2时，y为单调函数．

综上，k≤1或k≥4．