试题与答案

在锐角三角形ABC中，已知sinA=223，AD是BC边上的高，AD=2，BC=

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题型：解答题

题目：

在锐角三角形ABC中，已知sinA=
2
2
3
，AD是BC边上的高，AD=
2
，BC=2．
（1）求：tan2
B+C
2
+
1-cosA
2
的值
（2）求证：点D是BC的中点．

答案：

（1）∵△ABC为锐角三角形sinA=

2
2
3
，∴cosA=
1
3
，

 原式=

1-cos(B+C)
1+cos(B+C)
=
1+cosA
1-cosA
+
1-cosA
2
=
7
3
．

（2）证明：设DC=x，∠CAD=α，∠BAD=β

则BD=2-x，tanα=

x
2
，tanβ=
2-x
2
，∵tanA=tan(α+β)=2
2
，

∴2

2
=
tanα+tanβ
1-tanαtanβ
=
x
2
+
2-x
2
1-
2x-x2
2
⇒x2-2x+1=0⇒x=1，∴点D为BC的中点．

考点：两角和与差的三角函数及三角恒等变换
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