试题与答案

知识迁移 当a＞0且x＞0时，因为(x-ax)2≥0，所以x-2a+ax≥0，从

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题型：解答题

题目：

知识迁移
   当a＞0且x＞0时，因为(
x
-
a
x
)2≥0，所以x-2
a
+
a
x
≥0，从而x+
a
x
≥2
a
（当x=
a
）是取等号）．
   记函数y=x+
a
x
（a＞0，x＞0）．由上述结论可知：当x=
a
时，该函数有最小值为2
a
．
直接应用
   已知函数y1=x（x＞0）与函数y2=
1
x
（x＞0），则当x=______时，y1+y2取得最小值为______．
变形应用
   已知函数y1=x+1（x＞-1）与函数y2=（x+1）2+4（x＞-1），求
y2
y1
的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．
实际应用
   已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分，一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？

答案：

直接应用：

∵函数y=x+

a
x
（a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x=
a
时，该函数有最小值为2
a
．

∴函数y1=x（x＞0）与函数y2=

1
x
（x＞0），则当x=1时，y1+y2取得最小值为2．

变形应用

已知函数y1=x+1（x＞-1）与函数y2=（x+1）2+4（x＞-1），

则

y2
y1
=
(x+1) 2+4
x+1
=（x+1）+
4
x+1
的最小值为：2
4
=4，

∵当（x+1）+

4
x+1
=4时，

整理得出：x2-2x+1=0，

解得：x1=x2=1，

检验：x=1时，x+1=2≠0，

故x=1是原方程的解，

故

y2
y1
的最小值为4，相应的x的值为1；

实际应用

设行驶x千米的费用为y，则由题意得，y=360+1.6x+0.001x2，

故平均每千米的运输成本为：

y
x
=0.001x+
360
x
+1.6=0.001x+
0.36
0.001x
+1.6，

由题意可得：当0.001x=

0.36
时，
y
x
取得最小，此时x=600km，

此时

y
x
≥2
0.36
+1.6=2.8，

即当一次运输的路程为600千米时，运输费用最低，最低费用为：2.8元．

答：汽车一次运输的路程为600千米，平均每千米的运输成本最低，最低是2.8元．

考点：不等式的定义求二次函数的解析式及二次函数的应用
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