试题与答案

已知函数f（x）=x2-2x+logaax-1在（1，32）内恒小于零，则实数a

来源：www.tikuol.com
题型：选择题

题目：

已知函数f（x）=x2-2x+loga
a
x-1
在（1，
3
2
）内恒小于零，则实数a的取值范围是（　　）
A．
1
16
≤a＜1		B．0＜a≤
1
16
C．0＜a＜
1
4
D．a≥
1
16

答案：

f（x）=x2-2x+loga

a
x-1
，

因为a＞0，且

a
x-1
＞0，所以定义域：{x|x＞1}．

 f'（x）=2x-2-

1
(x-1)lna
，

①当0＜a＜1时，

1
(x-1)lna
＜0，所以在x∈（1，
3
2
）时f'（x）＞0，函数f（x）在（1，
3
2
）上是增函数，

要满足题意，须f（

3
2
）≤0，即：
9
4
-3+loga（2a）≤0，即：loga2≤-
1
4
，

解得：a≥

1
16
，又0＜a＜1，所以
1
16
≤a＜1．

②当a＞1时，由f'（x）=0得：x=1+

1
2lna
，

当x＜1+

1
2lna
时，f'（x）＜0，当x＞1+
1
2lna
时，f'（x）＞0，

由此得函数f（x）在x＜1+

1
2lna
时是减函数，在x＞1++
1
2lna
时是增函数，

而f（

3
2
）=
9
4
-3+loga（2a）=loga2+
1
4
＞0，

所以a＞1时，不能保证在（1，

3
2
）内f（x）恒小于0，

故a＞1不合题意，舍去．

综上，所求实数a的取值范围为

1
16
≤a＜1．

故选A．

考点：函数的定义域、值域函数的最值与导数的关系
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