题目：
已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l．
（1）求边AB中点的轨迹方程；
（2）当AB边通过坐标原点O时，求△ABC的面积；
（3）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．
答案：
（1）设AB所在直线的方程为y=x+m
由
得4x2+6mx+3m2-4=0．（2分）x2+3y2=4 y=x+m
因为A、B在椭圆上，所以△=-12m2+64＞0.-
＜m＜4 3 3 4 3 3
设A、B两点坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），中点为P（x0，y0）
则x1+x2=-
，m=-3m 2
x0，y0=x0-4 3
x0=-4 3
x01 3
所以中点轨迹方程为y=-
x(-1 3
＜x＜3
，且x≠-3
)（4分）3 2
（2）∵AB∥l，且AB边通过点（0，0），故AB所在直线的方程为y=x．
此时m=0，由（1）可得x=±1，所以|AB|=
|x1-x2|=22
（6分）2
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以h=
（8分）2
S△ABC=
|AB|•h=2．（10分）1 2
（3）由（1）得x1+x2=-
，x1x2=3m 2
，3m2-4 4
所以|AB|=
|x1-x2|=2
．（12分）32-6m2 2
又因为BC的长等于点（0，m）到直线l的距离，即|BC|=
．（14分）|2-m| 2
所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-（m+1）2+11．
所以当m=-1时，AC边最长，（这时△=-12+64＞0）
此时AB所在直线的方程为y=x-1．（16分）
