求当m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4. (1)有且仅有一个零点；(2

答案：

(1) m＝4或m＝－1. (2) m的取值范围为(－5，－1)

本试题主要是考查了函数的零点，利用方程的解得到零点的证明。

（1）f(x)＝x²＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点⇔方程f(x)＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，解得。

（2）设f(x)的两个零点分别为x₁，x₂，

则x₁＋x₂＝－2m，x₁·x₂＝3m＋4.

利用韦达定理和判别式得到范围。

解　(1)f(x)＝x²＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点⇔方程f(x)＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m²－4(3m＋4)＝0，即m²－3m－4＝0，

∴m＝4或m＝－1. ……………… 5分

(2)设f(x)的两个零点分别为x₁，x₂，

则x₁＋x₂＝－2m，x₁·x₂＝3m＋4.

由题意，在⇔

⇔

∴－5＜m＜－1.故m的取值范围为(－5，－1)．………………12分