试题与答案

函数f(x)=cos4x-sin4x+2asin2(x2-π4)，x∈[π6，2

来源：www.tikuol.com
题型：解答题

题目：

函数f(x)=cos4x-sin4x+2asin2(
x
2
-
π
4
)，x∈[
π
6
，
2π
3
]，a∈R
（1）当a=-4时，求函数f（x）的最大值；
（2）设g(x)=sinx-
3
2
a，且f（x）≤-ag（x）在x∈[
π
6
，
2π
3
]上恒成立，求实数a的取值范围．

答案：

（1）∵a=-4

∴f(x)=cos4x-sin4x+2asin2(

x
2
-
π
4
)

=cos2x-4（1-cos（x-

π
2
））

=1-2sin2x+4sinx-4

=-2（sinx-1）2-1，

∵x∈[

π
6
，
2π
3
]，

∴

1
2
≤sinx≤1，当sinx=1时，f（x）取得最大值-1，

∴函数f（x）的最大值为-1；

（2）∵g(x)=sinx-

3
2
a，且f（x）≤-ag（x）在x∈[
π
6
，
2π
3
]上恒成立，

∴-a（sinx-

3
2
a）≥f（x）=cos2x+a[1-sinx]在x∈[
π
6
，
2π
3
]上恒成立，

即

3
2
a2-a≥cos2x，x∈[
π
6
，
2π
3
]恒成立，

而x∈[

π
6
，
2π
3
]时，（cos2x）max=cos
π
3
=
1
2
，

∴即

3
2
a2-a≥
1
2
，

∴a≥1或a≤-

1
3
．

实数a的取值范围为（-∞，-

1
3
]∪[1，+∞）．

考点：已知三角函数值求角正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）
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题型：单项选择题

青霉素问世后，抗生素成了人类战胜病菌的神奇武器。然而，人们很快发现，虽然新的抗生素层出不穷，但是，抗生素奈何不了的耐药菌也越来越多，耐药菌的传播令人担忧。2003年的一项关于幼儿园口腔卫生情况的研究发现，儿童口腔细菌约有15%是耐药菌，97%的儿童口腔中藏有耐4—6种抗生素的细菌，虽然这些儿童在此前3个月中都没有使用过抗生素。
从某种意思上说，现代医学正在为它的成功付出代价。抗生素的普遍使用有力地抑制了普通细菌，客观上减少了微生物世界的竞争者，因而促进了耐药性细菌的增长。
细菌耐药基因的种类和数量增长速度之快，是无法用生物的随机突变来解释的。细菌不仅在同种内，而且在不同的物种之间交换基因，甚至能够从已经死亡的同类散落的DNA中获得基因。事实上，这些年来，每一种已知的致病菌都已或多或少获得了耐药基因。研究人员对一株耐万古霉素肠球菌的分析表明，它的基因组中，超过四分之一的基因，包括所有耐抗生素基因，都是外来的。耐多种抗生素的鲍氏不动杆菌也是在与其他菌种交换基因中获得了大部分耐药基因。
研究人员正在梳理链霉菌之类土壤微生物的DNA，他们对近500个链霉菌品系的每一个菌种都检测了对多种抗生素的耐药性。结果，平均每种链霉菌能够耐受七八种抗生素，有许多能够耐受十四五种。对于实验中用到的21种抗生素，包括泰利霉素和利奈唑胺这两种全新的合成抗生素，研究人员在链霉菌中都发现了耐药基因。研究发现，这些耐药基因与致病菌中耐药基因有着细微的差异。有证据表明，耐药基因在从土壤到重危病人的旅途中，经过了许多次转移。
人类已经认识到滥用抗生素对自身健康的严重威胁，并且也认识到在牲畜饲养中大量使用抗生素的严重危害。在饲料中添加抗生素，可以促进牲畜的生长，但同时也会是牲畜体内的病菌产生耐药性。世界卫生组织呼吁，为防止滥用抗生素而导致细菌产生耐药性，抑制耐药菌的传播，世界各国应限制对牲畜使用抗生素。欧盟决定从2006年1月起，全面禁止将抗生素作为牲畜生长促进剂。
人畜粪便如果流入河道，或是作为饲料的一部分被撒入农田，其中的细菌就更加容易繁殖和传播其耐药基因。目前，研究人员正在调查，人畜粪便是如何在耐抗生素基因的蔓延中起作用的。

根据原文提供的信息，以下推断正确的一项是( )。

A．人类需要不断开发各种新型抗生素来战胜各种不同的耐抗生素病菌

B．土壤中的耐药基因经过多次转移，传播给人后其耐药性会逐步下降

C．检测牲畜排泄物中有无耐药基因即可判定其饲料是否添加了抗生素

D．只要科学、合理地使用抗生素，人们就不会感染各种耐抗生素病菌
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