答案:
(1)因为函数f(x)=sin(x+φ)为偶函数,所以,sin(x+φ)=sin(-x+φ),
化简为 2sinxcosφ=0,∴cosφ=0,所以φ=kπ+,k∈z.
(2)∵函数f(x)=sin(2x+)+sin(2x+)=sin2x+2cos2x=sin(2x+α)∈[-,],
其中,sinα=,cosα=,所以 A=[-,]…(8分)
g(x)=x2-(4tanθ)x+1=(x-2tanθ)2+1-28tan2θ,
由题意可知:2tanθ≤-,tanθ≤-,∴kπ-≤θ≤kπ-arctan,k∈z,
即θ的取值范围是[kπ-,kπ-arctan],k∈z.(10)
(3)由于 f(x)=a1sin(ωx+φ1)+a2sin(ωx+φ2)+…+ansin(ωx+φn)
=a1 (sinωxcosφ1 +cosωxsinφ1)+a2 (sinωxcosφ2 +cosωxsinφ2)+…+an (sinωxcosφn+cosωxsinφn )
=sinωx (a1•cosφ1+a2•cosφ2+…+an•cosφn)
+cosωx(a1•sinφ1+a2•sinφ2+…+an•sinφn).
∵f2(0)+f2()≠0,∴a1•cosφ1+a2•cosφ2+…+an•cosφn =0
与a1•sinφ1+a2•sinφ2+…+an•sinφn =0 不能同时成立.
不妨设 a1•cosφ1+a2•cosφ2+…+an•cosφn =m,a1•sinφ1+a2•sinφ2+…+an•sinφn =n,
则f(x)=msinωx+ncosωx==sin(ωx+φ),且 m2+n2≠0.
由于函数f(x)的图象关于点(,0)对称,在x=π处取得最小值,∴(4n-3)=π-,n∈N*.
(4n-3)=,∴ω=4n-3,n∈N* ①.
再由函数f(x)的图象关于点(,0)对称可得 sin(ω+φ0)=0,故ω+φ0=kπ,k∈z.
∴(4m-3)+φ0=kπ,φ0=kπ+,k∈z.
又函数f(x)在x=π处取得最小值,∴sin(ωπ+φ0)=-1,∴ωπ+kπ+=2k′π+,k′∈z.
∴ω=k,k∈N* ②.
由①②可得,ω=4n-3,n∈N*.