题目：
四边形ABCD是梯形，
（Ⅰ）求动点C的轨迹E的方程； （Ⅱ）设直线BC与动点C的轨迹E的另一交点为P，过点B且垂直于BC的直线交动点C的轨迹E于M，N两点，求四边形CMPN面积的最小值． |
答案：
（Ⅰ）由
•AB
=0，AD
与AB
共线可知，CD
四边形ABCD是直角梯形，且CD⊥DA，又|CD|=|BC|，
所以动点C的轨迹为以B为焦点，DA为准线，
对称轴为x轴的抛物线．
设动点C的轨迹E的方程y2=2px（p＞0），
则p=|AB|=2
所以动点C的轨迹E的方程是y2=4x（x≠0，x≠1）…（3分）
（Ⅱ）设直线BC斜率为k，
由题意知，k存在且k≠0，
直线BC的方程y=k（x-1）
依题意
，y=k(x-1) y2=4x
∴k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
设P（x1，y1），C（x2，y2）
则x1+x2=
，x1x2=1，2k2+4 k2
|PC|=
=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] 4(1+k2) k2
直线MN垂直于直线BC，
以-
替代上式中的k，得|MN|=4（k2+1）…（7分）1 k
∴S四边形CMPN=
|PC|•|BN|+1 2
|PC|•|BM|1 2
=
|PC|(|BN|+|BM|)1 2
=
|PC|•|MN|1 2
=
•1 2
•4(1+k2)4(1+k2) k2
=8•
=8(k2+k4+2k2+1 k2
+2)1 k2
∵k2+
≥2∴8(k2+1 k2
+2)≥321 k2
四边形CMPN面积的最小值等于32． …（12分）
