试题与答案

在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m=(a，b)，n=(b，c

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题型：解答题

题目：

在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，向量
m
=(a，b)，
n
=(b，c)．
（Ⅰ）若向量
m
∥
n
求满足
3
sinB+cosB-
3
=0的角B的值；
（Ⅱ）若A-C=
π
3
，试用角B表示角A与C；
（Ⅲ）若
m
•
n
=2b2，且A-C=
π
3
，求cosB的值．

答案：

（Ⅰ）∵

m
=(a，b)，
n
=(b，c)，
m
∥
n
，

∴b2=ac，

∴cosB=

a2+c2-b2
2ac
≥
2ac-ac
2ac
=
1
2
，

当且仅当a=c时取等号，

∵0＜B＜π，∴0＜B≤

π
3
．

由

3
sinB+cosB-
3
=0

得：sin(B+

π
6
)=
3
2
，

∵B+

π
6
∈(
π
6
，
π
2
]，

∴B+

π
6
=
π
3
，∴B=
π
6
．

（Ⅱ）在△ABC中，∵A-C=

π
3
，A+C=π-B，∴A=
2π
3
-
B
2
，C=
π
3
-
B
2

（Ⅲ）∵

m
•
n
=2b2，

∴a+c=2b，

∴sinA+sinC=2sinB，

由A-C=

π
3
及（Ⅱ）的结论得：

∴sin(

2π
3
-
B
2
)+sin(
π
3
-
B
2
)=2sinB，

展开化简，得

3
cos
B
2
=2×2sin
B
2
cos
B
2
，

∵cos

B
2
≠0，∴sin
B
2
=
3
4
，

∴cosB=1-2sin2

B
2
=1-
3
8
=
5
8
．

考点：同角三角函数的基本关系式余弦定理向量数量积的运算
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