试题与答案

已知f（x）=sinx+3cosx（x∈R）．求：（1）若x∈R，求f（x）的值

来源：www.tikuol.com
题型：解答题

题目：

已知f（x）=sinx+
3
cosx（x∈R）．求：
（1）若x∈R，求f（x）的值域，并写出f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈(-
π
2
，
π
3
)，求f（x）的值域．

答案：

（1）由题意，f(x)=sinx+

3
cosx=2sin(x+
π
3
)，

∴f（x）的值域为[-2，2]，

令2kπ+

π
2
≤x+
π
3
≤2kπ-
π
2
，

解得2kπ-

5π
6
≤x≤2kπ+
π
6
，

故函数的单调递增区间为[2kπ-

5
6
π，2kπ+
1
6
π]，k∈Z；

（2）∵x∈(-

π
2
，
π
3
)，

∴x+

π
3
∈(-
π
6
，
2π
3
)，

令t=x+

π
3
，则y=sint在(-
π
6
，
π
2
)上递增，在(
π
2
，
2π
3
)上递减，

∴f(x)＞sin(-

π
6
)=-
1
2
，fmax(x)=sin
π
2
=1，

∴-1＜f（x）≤2，

故f（x）的值域为（-1，2]．

考点：已知三角函数值求角
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